Résumé: Soit M une variété différentiable munie dʼun tenseur de Poisson σ et dʼune métrique riemannienne g et soit le tenseur de type reliant σ à g. Il est connu que J se relève à et définit un champ de bivecteur qui est de Poisson et compatible avec la structure de Poisson canonique de si la torsion de J est nulle. On considère la structure dʼalgébroide de Lie sur associée à σ. Elle définit par dualité un tenseur de Poisson sur TM. Notons le tenseur de Poisson sur image de par lʼisomorphisme musical associé à g. Nous montrons que les trois assertions suivantes sont équivalentes : (a) est compatible avec la structure de Poisson canonique sur , (b) , (c) σ est parallèle par rapport à la connexion de Levi-Civita de g. Nous donnerons une large classe dʼexemples illustrant cette situation.