자연적으로 휘어지고 비틀린 보는 곡률의 정확한 표현이 매우 중요하다. 이 곡률의 정식화는 보의 중심선을 기준으로 하는 프레네-세레 표현법과 보의 단면에 부착된 좌표계로 표현하는 다르부 표현법으로 구분된다. 본 연구에서는 보의 곡률을 고려하기 위해 다르부 프레임을 차용하였으며, 이에 기초하여 곡선 좌표계를 기반으로 하는 변형률 텐서를 유도하고, 오일러-베르누이 가정을 적용하여 고전적인 곡선 보 이론을 정식화하였다. 개발된 이론에 기초한 멤브레인 잠김이 없는 3절점 보 유한요소를 개발하였으며, 이를 사용하여 자유진동 해석을 수행하였다. 얻은 결과는 상용유한요소 해석결과와 비교 분석하였으며, 정성적, 정량적으로 잘 일치함을 확인하였다.
This study investigates the critical role of curvature expressions in the analysis of naturally curved and twisted beams, focusing on two distinct curvature formulations: the Frenet–Serret and Darboux frames. Whereas the Frenet–Serret frame is inherently aligned with the curve’s trajectory, the Darboux frame is affixed to the cross-section of the curved beam. For elastic beams, the preference is to employ the Darboux frame to establish the cross-sectional rigidity about the beam"s reference line. Within the Darboux frame framework, we derive a curvilinear strain tensor, underpinning the assumption of the Euler–Bernoulli beam theory. Subsequently, we utilize this beam strain measure to formulate a three-noded finite element tailored for the analysis of naturally curved and twisted beams. The element is also designed to be free from membrane-locking issues. We apply this formulation to analyze the free vibration behavior of beams with varying opening and twist angles. Our results exhibited excellent agreement with those obtained from commercial finite element software, both qualitatively and quantitatively.